Методичне забезпечення самостійної роботи дисципліни «Математика»

Алгебра та початки аналізу

Самостійна робота №1

Тема. Функції. Побудова графіків функцій за допомогою перетворень.

Побудувати графік функції, можна за допомогою перетворень одержати графіки функцій , , y=f(x)+a, y=f(kx), y=kf(x), y=f(x+a), y=|f(x)|, y=‌‌‌‌‌ f(|x|).

Функція План побудови Графік
1 Відобразити  графікфункціїсиметрично відносно осі Ox
2 Відобразитиграфікфункціїсиметрично відносно осі Oy
3 y=f (x)+a Паралельно перенести графікфункціївздовж осі Oy:

  • вгору на |а| одиниць, якщоа>0;
  • вниз на |а| одиниць, якщоа<0.
4 y=f (x+a) Паралельно перенести графікфункціївздовж осіOx:

  • вліво на |а| одиниць, якщоа>0;
  • вправо на |а| одиниць, якщоа<0.

 

5 y = kf (x)

РозтягнутиграфікфункціївздовжосіOyвkразів, якщоk>1;

 

СтиснутиграфікфункціївздовжосіOyвразів, якщо 0<k<1

6 y = f (kx)

Розтягнутиграфікфункціївздовжосі  Oxвразів, якщо 0<k<1;

Стиснутиграфікфункції вздовжосі Oxввkразів, якщоk>1;

7 y = |f(x)| Відобразити  частину  графікафункції, яка лежить під віссюOx, симметричновідносноосіOx,а ту частину, яка лежить над віссюOxінаосі Ox, залишитибеззмін
8 y = f(|x|) Відкинути частину графіка функції, яка лежить зліва від осі Oy, і відобразити симетрично відносно осі Oyчастину графіка, яка лежить справа від осі Oyі на осі Oy

Алгебра та початки аналізу

Самостійна робота №2: Тема. Корінь n-го степеня. Степенева функція.

 Алгебра та початки аналізу

Самостійна робота №3: Тема. Тригонометричні функції числового аргументу.

Формула переходу від градусного вимірювання до радіанного має вигляд

де а – градусна міра дуги (кута).

Радіанна l0 дорівнює 0,0175 радіана.

Формула переходу від радіанного вимірювання до градусного має вигляд

Градусна міра одного радіана дорівнює 570

Тригонометричні функції числового аргументу

Абсциcа  Х точки Ма числового одиничного кола називається косинусом числа а:

Ордината Y точки Ма числового одиничного кола називається синусом числа а;

Областю визначення косинуса і синуса є множина всіх дійсних чисел, тобто D(cos a)=R, D(sin a)=R

Відношення синуса числа а до його косинуса називається тангенсом числа а;

Область визначення тангенса – множина всіх дійсних чисел вигляду

Відношення косинуса числа а до його синуса називається котангенсом числа а;

Основні  співвідношення   між тригонометричними функціями  одного аргументу.

Алгебра та початки аналізу

Самостійна робота №4:  Тема. Формули додавання та їх наслідки.

 Формули зведення
Основні  співвідношення   між тригонометричними функціями  одного аргументу.
Теореми додавання
Тригонометричні функції подвійного і потрійного аргументів
Формули половинного аргументу
(для синуса і косинуса – формули пониження степеня)
Формули перетворення суми і різниці тригонометричних функцій у добуток
Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму
 
Алгебра та початки аналізу

Самостійна робота № 5: Тема. Побудова графіків тригонометричних функцій. Тригонометричні рівняння та нерівності та їх розв’язування.

Означення
Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння:
де т – додатне число.
Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння означає знайти множину всіх значень аргументу (дуг або кутів), при яких дана тригонометрична функція набуває заданого значення т.
Принциповою відмінністю тригонометричних рівнянь від алгебраїчних: тригонометричні рівняння, в яких змінна входить лише-під знак тригонометричної функції, або зовсім не мають розв’язків, або мають їх безліч. Це пов’язано з властивістю періодичності тригонометричних функцій.

Означення
Найпростішими тригонометричними нерівностями називаються нерівності:
де т – дане число.
Розв’язати найпростішу тригонометричну нерівність означає знайти множину всіх значень аргументу (дуг або кутів), які перетворюють дану нерівність у правильну числову нерівність.

Алгебра та початки аналізу

Самостійна робота №  6: Тема. Показникова та логарифмічна функції. Логарифмічні рівняння  і нерівності та їх розв’язування.

Означення
Функція виду  у = ах, де а>0  і  а≠1,  називається показниковою.

Властивості показникової функції (>0, )

>1 0<<1
1 D(y)=R
2 E(y)=(0;+∞)
3 Функція не є ні парною, ні непарною.
4 Графік функції розміщений у верхній півплощині, перетинає вісь Оу у точці (0;1), вісь Ох є для нього асимптотою
5 Функція зростає на R Функція спадає на R
6 Якщо , то
7 Якщо N>0, то існує, і до того ж єдине, значення х, при якому . (Тобто рівняння  завжди має розв’язок, і до того ж єдиний, якщо >0 , , N>0.)
8 На рисунку внизу зображений графік показникової функції

Означення
Логарифмічною називається функція y = logax, де а > і а ≠ 1,  обернена до показникової  у = ах.

Властивості логарифмічної функції  , a>1  , 0<a<1
Графік
1. Область визначення функції D(f) = ( 0; +∞)
2. Область значень функції E(f) = ( -∞;+∞)
3. Парність, непарність. Функція не є ні парною, ні непарною (функція загального вигляду).
4. Перетин з осями координат Якщо х=1, то у=0, тобто графік проходить через точку (1;0)
5. Проміжки знакосталості Якщо х>1, то f(x)>0;Якщо х<1, то f(x)<0. Якщо х>1, то f(x)<0;Якщо х<1, то f(x)>0.
6.Монотонність Монотонно зростає на  R Монотонно спадає на R

Алгебра та початки аналізу

Самостійна робота № 7: Тема. Похідна та її  застосування. Похідна. Рівняння дотичної до графіка функції.   Зростання та спадання  функції.

 Дотична — це пряма, а положення прямої у= kx + b, яка проходить через точку А(х0; у0) визначається кутовим коефіцієнтом прямої k = tg α, де α — кут між прямою і додатнім напрямом осі ОХ.
 Рівняння дотичної до кривої у = f(x) в точці М(xo; уo) має вигляд:
y – yо=  f ‘(xo)(x – xo).

Знаходження проміжків зростання та спадання функції можна виконувати за таким планом:

  1. Знайти область визначення заданої функції у = f(x).
  2. Знайти похідну f'(x).
  3. Розв’язати нерівності: а) f'(x) > 0, указати проміжки зростання функції у = f(x); б) f'(x) < 0, указати проміжки спадання функції у = f(x)·

Правило знаходження екстремумів функції :

  1.  Знайти похідну.
  2. Знайти стаціонарні (критичні )точки.
  3. Розбити числову пряму критичними точками на проміжки.
  4. Знайти знак похідної на кожному з утворених проміжків.
  5. Якщо похідна змінює знак з «-» на «+» то критична точка є мінімальною, а якщо з «+» на «-», є максимальною, якщо при переході через критичну точку, знак не змінюється, точка не є екстремальною.
  6.  Знайти значення функції в екстремальних точках.

Друге правило дослідження функції на екстремум:

Щоб дослідити функцію на екстремум, треба: 1. знати стаціонарні точки заданої функції; 2. знайти похідну другого порядку в стаціонарній точці;
Якщо при цьому в стаціонарній точці х0 f”(х0) ≠ 0, то х0 є  екстремальною   точкою для функції f (х0), а саме: точкою мінімуму, якщо   f” (х0)>0, і точкою максимуму, якщо f” (х0)<0.

Таблиця похідних

  1.   степенева функція
  2.  сума
  3.  добуток
  4.  дріб
  5.  Тригонометричні функції
  6.   [х]<1
  7.   Обернені тригонометричні функції
  8.  Показникова функція
  9.  Логарифмічна функція

Алгебра та початки аналізу

Самостійна робота № 8

Тема. Похідна та її застосування. Загальна схема побудови графіка функцій.

 Дослідження функції і побудову її графіка будемо виконува­ти за таким планом:

 1. Знаходимо область визначення функції.

2. Знаходимо точки перетину графіка з координатними осями.

3. З’ясовуємо парність (непарність), періодичність функції.

4. Знаходимо похідну та стаціонарні точки.

5. Знаходимо проміжки зростання, спадання, точки екстремуму та екстремальні значення функції.

6. З’ясовуємо поведінку функції на кінцях області визначення.

7. На підставі проведеного дослідження будуємо графік функції.

Алгебра та початки аналізу

Самостійна робота № 9: Тема.Розв’язування вправ на інтегрування функцій. Застосуванняінтеграла для обчисленняплощ плоских фігурОсновні формули інтегрування (Табличні інтеграли)

Визначеним інтегралом від функції f (x) на відрізку [a; b] називається границя інтегральної суми при умові, що довжина найбільшого з елементарних відрізків прямує до нуля:
До будь-якої функції f (x), неперервної на відрізку [a; b], завжди існує визначений інтеграл

Основні властивості визначеного інтегралу.

  1. Визначений інтеграл від алгебричної суми скінченного числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі визначених інтегралів від функцій, що додаються:
  2. Сталий множник можна винести за знак визначеного інтеграла:
  3. При перестановці меж інтегрування визначений інтеграл змінює знак на протилежний:
  4. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:
  5. Відрізок інтегрування можна розбивати на частини:

 Алгебра та початки аналізу

Самостійна робота № 10: Тема.  Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики.

Число перестановок з n елементів дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до п, тоб­то п! (читають: єн факторіалів).
Будь-яка впорядкована підмножина з т елементів даної множи­ни, яка містить n елементів, де т  n називається розміщенням з n елементів по т елементів.
Число розміщень з n елементів по т позначають символом . = n · (n – 1) ·(n –2)··(n – m +1),
Будь-яка підмножина з т елементів даної множини, яка містить n елементів, називається комбінацією з n елементів по т еле­ментів.
Число комбінацій з n елементів по т позначають символом .

Первісним поняттям теорії ймовірності є поняття події.
Подія — це явище, про яке можна сказати, що воно відбу­вається чи не відбувається за певних умов. Події позначаються великими буквами латинського алфавіту: А, В, С… Будь-яка подія відбувається внаслідок випробування (експерименту, досліду).
Випробування — це умови, в результаті яких відбувається (чи не відбувається) подія.
Р(А) = ,         де А — подія,  Р(А) — ймовірність події; n — загальна кількість подій простору елементарних подій; т — число подій, які сприяють події А.

Математична статистика – розділ математики, присвячений математичним методам систематизації, обробки та дослідження статистичних даних для наукових і практичних висновків. Її широко застосовують соціально-економічні дисципліни та інші галузі, а саме: астрономія (розподіл і рух зірок у небесному просторі), фізика (термодинаміка), біологія (закони спадковості), гідрологія (прогноз погоди), індустрія (контроль якості виробів) і таке інше.

Середнім значенням вибірки називається середнє арифметичне всіх її значень, або (– знак  суми – “сигма” велика).
Мода вибірки – те її значення, яке трапляється найчастіше. Позначається Мо.
Медіана вибірки – це число, яке “поділяє” “навпіл” упорядковану сукупність усіх значень вибірки, тобто середня величина змінюваної ознаки, яка міститься в середині ряду, розміщеного в порядку зростання або спадання ознаки. Позначається Ме.
Середнє квадратичне відхилення позначається грецькою буквою (“сигма” мала):

Геометрія

Самостійна робота № 1: Тема. Аксіоми стереометрії та їх наслідки.

Стереометрія — Стереометрія (від грец. «стереос» — тілесний, «метрео» — вимірюю) — це розділ геометрії, в якому вивчаються фігури в просторі, а також властивості просторових фігур.
Основними фігурами в просторі є точка, пряма та площина.
Точки позначаються великими латинськими буквами, наприклад, точки А, В, С…;
прямі позначаються малими латинськими буквами, наприклад, прямі а, b, с…, або двома великими буквами, наприклад, АВ, ВС, CD… ;
Матеріальними моделями частини площини є, наприклад, поверхня стола, поверхня віконного скла, поверхня мармурової плити тощо.
У геометрії площину уявлять необмеженою, ідеально рівною і гладенькою.

Зображають площини у вигляді паралелограма (рис. 5) або у вигляді  довільної області (рис. 6).
Позначають площини грецькими буквами, наприклад, α, β , γ… На рис. 5 зображено площину α , на рис. 6 — площину β.

 Аксіома С1:
Яка б не була площина, існують точки, які належать цій площині, і точки, які не належать їй.

АксіомаС2:
Якщо дві різні площини мають спільну  точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку. Наочною ілюстрацією цієї аксіоми є перетин двох стін, стіни і підлоги класної кімнати.

Аксіома С3:
Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Наслідки аксіом стереометрії

Теорема 1
Через пряму і точку, яка не належить їй, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Теорема 2
Якщо дві точки прямої належать площині, то й кожна точка цієї прямої лежить у даній площині.

Теорема3
Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Самостійна робота № 2: Тема. Паралельне проектування. Паралельне проектування та його властивості

Для зображення просторових фігур у стереометрії користуються па­ралельним проектуванням.
Нехай дано довільну площину α, точку А (рис. 83) і пряму h, яке перетинає площину α. Проведемо через точку А пряму, яка паралель­на h, вона перетинає площину α у деякій точці А1. Знайдену таким способом точку А; називають паралельною проекцією точки А на площину α у напря­мі h. Пряму h називають проектуючою пря­мою, площину α площиною проекцій.
Щоб побудувати проекцію будь-якої фігу­ри, треба спроектувати на площину проекції кожну точку даної фігури (рис. 84). 

Властивості паралельного проектування.

Теорема.

Якщо відрізки, які проектуються, не паралельні проектуючій прямій, то при паралельному проектуванні:

1)  відрізки зображуються відрізками;
2)  паралельні відрізки зображуються паралельними відрізками або відрізками однієї прямої;
3) відношення довжин паралельних відрізків і відрізків однієї прямої зберігається.

Самостійна робота № 3: Тема. Паралельність прямих і площин у просторі .  

Взаємне розміщення прямої і площини

Теореми про паралельні площини

Теорема.
Через точку поза даною площиною можна провести пло­щину, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

Теорема.
Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні.

Цю теорему можна сформулювати по-іншому:
Паралельні площини перетинаються січною площиною по паралельних прямих.

Самостійна робота № 4: Тема. Перпендикулярність прямих і площин.

Означення
Перпендикулярними прямими на площині називаються прямі, які перетинаються під прямим кутом.
У стереометрії розглядають три випадки перпендикулярності: перпе­ндикулярність прямих, перпендикулярність прямої і площини, перпен­дикулярність площин.
Означення
Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перети­наються під прямим кутом.
Означення
Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину та перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині й проходить через точку перетину.
пряма с перпендикулярна до площини α. Пишуть: с  α. З означення ви­пливає, що сa , сb.

Ознака перпендикулярності прямої і площини.

Теорема.
Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині й перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини.

Дано:
 aс, ab, b α, с α; а, b, с перетинаються в точці А; х α .
Довести: ах (рис. 139).

Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою
Дано:а || b,a α .
Довести:
ba.
Дано:aα,b α.
Довести:
а||b.
Дано:α || β,а α .
Довести: β а.
Дано:α aa.
Довести:
α||β.

Із деякої точки проведено до площини дві похилі і перпендикуляр.

1) похилі рівні, то рівні і їх проекції;

2) проекції похилих рівні, то рівні і похилі.

3) похилі нерівні, то більша похила має більшу проекцію.

Означення
Дві площини, що перетинаються, нази­ваються перпендикулярними, якщо тре­тя площина, проведена перпендикуляр­но до лінії перетину цих площин, пере­тинає їх по перпендикулярних прямих.
На рис. 216 α  β, бо площини α і β пере­тинаються по прямій с, площина γ, перпенди­кулярна до с, перетинає α і β по прямих а і b, які перпендикулярні.

 Ознака перпендикулярності  площин

Теорема.

Якщо одна з двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

Дано: а, b, bα, β, bβ.

Довести:αβ (рис. 218).

Спільним перпендикуляром до двох мимобіжних прямих називається відрізок з кінцями на цих прямих, перпендикуля­рний до кожної з них.

 

 

 

 

 

 

 

Відстанню між мимобіжними прямими називається довжина їх спільного перпендикуляра. Вона дорівнює відстані між паралельними площинами, які проходять через ці прямі.

Ортого­нальне проектування — вид паралельного проектування, тому воно має властивості паралельного проектування. У геометрії ортогональне проек­тування основне.

Теорема

 Площа проекції  многокутника  на  площину  дорівнює  площі  даного многокутника,  помноженій на косинус кута  між  їх  площинами.

Sпр  = Scosφ

 

Кутом між прямою і площиною називають кут між пря­мою і її проекцією (ортогональною) на пло­щину.

 

 

 

 

Кут між двома площинами, які  перетинаються,— це кут між прямими перетину цих площин із площиною, перпенди­кулярною до лінії перетину даних площин.

 

Якщо площини паралельні, то кут між ними дорівнює 0°.

Якщо площини перпендикулярні, то кут між ними дорівнює 90°.

Отже, якщо φ — кут між площинами, то 0°φ90°.

 

 

Геометрія

Самостійна робота № 5

Тема. Вектори і координати.

 

Вектор – це напрямлений відрізок

Якщо початок і кінець співпадають, вектор називають нульовим або

Два вектори називають рівними, якщо їх довжини рівні, а напрями співпадають

 

Вектори, які лежать на паралельних прямих, називають колінеарними.

(а якщо ця умова не виконується, то не колінеарними)

 

Вектори, які лежать в одній площині, називають компланарними (а якщо

 

ця умова не виконується, не компланарними).

– не компланарні

– компланарні

 

 

 

 

 

Вектори в просторі
Координати вектора (рис. а)(хВ – хА; уВ – уА; zВzА)
Довжина вектора

(аx; аy; аz):

Рівність векторів

(аx; аy; аz) = (bx; by; bz)

Сума векторів (рис. б)(аx; аy; аz) + (bx; by; bz) = (аx + bx; аy+ by; аz + bz).+  + =
Різниця векторів (рис. в)(аx; аy; аz) – (bx; by; bz) = (аxbx; аyby; аzbz).–  =
Добуток вектора на число

λ·(аx; аy; аz) = (λаx; λаy; λаz)

Колінеарні вектори

і  колінеарні, якщо

= λ·

 

Додавання векторів

Правило трикутника                          Правило паралелограма

 

 

Множення вектора на число.